Optimierung: Die relevante Mathematik für Unternehmen

Viele Unternehmen der Industrie beschäftigt ein bekanntes Problem: Wie lassen sich interne Ressourcen optimal zuteilen? Egal ob Auftragsplanung, Zeitplanerstellung oder Transportplanung – Die Lösung zu diesen Aufgaben findet sich in der mathematischen Optimierung.

Bei der Optimierung handelt es sich um ein Teilgebiet der angewandten Mathematik, das bereits in zahlreichen praktischen Anwendungsfällen erprobt wurde. Die Optimierung beschäftigt sich damit, optimale Parameter für eine (komplexe) Problemstellung zu finden.

„Nicht mit Erfindungen, sondern mit Verbesserungen macht man Vermögen.“ Henry Ford

Problemtypen

Um den Einsatz von Optimierung besser zu verstehen, ist es zuerst wichtig die zugrunde liegenden Probleme zu kennen. Viele Probleme des Logistik- und Wirtschaftsalltags sind dadurch bestimmt, dass sie einer Zielfunktion folgen (z.B. Kosten minimieren) und dabei Nebenbedingungen erfüllen müssen (z.B. maximale Produktionsmenge je Produkt). Für diese Art von Problemen gibt es keine bekannte Lösungsformel. Vielmehr muss durch Modellierung der Problemstellung und Variation der Parameter eine optimale Lösung gefunden werden.

Drei häufige Probleme sind z.B.:

  • Maschinenbelegung: Welcher Auftrag, auf welcher Maschine in welcher Reihenfolge gefertigt
  • Zeitplanerstellung (Dienstplan): Welche Mitarbeiter sind verfügbar und werden an welchen Tagen, mit welcher Dauer in einen Dienstplan eingeteilt
  • Transportplanung: Welche Routenplanung je Fahrer oder je Paket führt zum geringsten Logistikaufwand für das gesamte System

Folgende Illustration zeigt die relevantesten Problemtypen für Optimierungsaufgaben:

Auflistung der bekanntesten Optimierungsprobleme

Technischer Hintergrund

Zur Lösung der oben genannten Problemstellungen (z.B. Maschinenbelegung, Zeitplanerstellung, Transportplanung) erfolgt eine Modellierung der Problemstellung mit anschließender Optimierung der Modellparameter. Es sind verschiedene Algorithmen verfügbar, um den optimalen Parametermix für das Problem abzuleiten, beispielsweise:

  • GRG: Generalized Reduced Gradient, verwendet den Gradienten der Zielfunktion mit geänderten Inputfaktoren, um das Optimum abzuleiten. Lösung ist jedoch stark abhängig von der gewählten Ausgangssituation und kann zu einem lokalen Optimum (statt eines globalen Optimums) führen. Führt zu schneller Lösung.
  • Evolutionary: Variiert die Inputfaktoren nach dem Prinzip der natürlichen Evolution. Parameterkombination, die am besten funktionieren, werden als Basis für weitere Variationen verwendet. Höhere Wahrscheinlichkeit ein globales Optimum zu finden. Langsamer in der Lösung.
  • Simplex LP: Nur für lineare Funktionen. Findet immer globales Optimum (statt lokalem Optimum), da nur lineare Funktionen gelöst werden. Funktionsweise liegt darin, entlang der Kanten einer Funktion zur optimalen Ecke zu laufen. Schnell in der Lösung.

Folgende Illustration verdeutlich die grafische Lösung von Optimierungsproblemen. Die X- und Y-Axen stellen dabei die zwei Parameter des Systems dar. Die schattierten Flächen stellen die Nebenbedingungen dar.  Mittels Lösungsalgorithmen wird der optimale Querschnitt beider Parameterfunktionen gefunden. Das Problem gilt als gelöst sobald keine Ergebnisverbesserung durch einen anderen Parametermix erreicht werden kann.

2D-Darstellung einer Lineare Funktion mit 3 Nebenbedingungen

Vorteile für Unternehmen

Die Umsetzung im Unternehmen gestaltet sich flexibel und zielorientiert. Das relevante Optimierungsproblem, z.B. Maschinenbelegung oder Zeitplanerstellung, wird modelliert und mittels bekannten Lösungsverfahren gelöst. Die Modellerstellung und -validierung erfolgt dabei in enger Abstimmung mit der Fachabteilung.

Die Vorteile für Unternehmen sind vielfältig:

  • Bessere Ressourcenauslastung
  • Geringerer manueller Planungsaufwand
  • Geringere Fehleranfälligkeit in der Planung
  • Objektivierung von Planungswissen
Manuel Pusterhofer
Autor: Manuel Pusterhofer
Manuel Pusterhofer ist Gründer und Geschäftsführer von Cognisio Consulting GmbH.
Mehr erfahren?

Erfahren Sie mehr zum Potential von AI, Data Science und Machine Learning in Ihrem Unternehmen.

Interessieren Sie sich dafür wie Optimierung in Ihr Unternehmen passt? Kontaktieren Sie uns.